TRUNCHIURI DE PIRAMIDĂ Unitatea de învăţare: TRUNCHIURI DE PIRAMIDĂ

Trunchiul de piramidă - corpuri asemenea

1. Corpuri asemenea Analogie! Δ ABC,[AB]≡[AC] d║BC, d – situată între vârful A şi latura BC VABCD – piramidă patrulateră regulată, α║ABCD, α – situat între vârf şi bază A V d α C B D C A A B

VABCD – piramidă patrulateră regulată, 1. Corpuri asemenea Analogie! VABCD – piramidă patrulateră regulată, α║ABCD, α – situat între vârf şi bază Δ ABC, d║BC, d – situată între vârful A şi latura BC A A V V M N M N D' C' D' C' A' B' A' B' C B D C TFA: ΔAMN~ΔABC ? A A B Piramida VABCD o numim asemenea cu piramida VABCD

a) Segmente omoloage: [AB] cu [A‘B‘], [BC] cu [B‘C‘], [AC] cu [A‘C‘], 2. Elemente omoloage a) Segmente omoloage: V [AB] cu [A‘B‘], [BC] cu [B‘C‘], [AC] cu [A‘C‘], [VO] cu [V‘O‘], [OM] cu [O‘M‘], [VA] cu [V‘A‘] etc. D' C' O' M' A' B' Notaţii: AB=L, A'B'=l, VB=M, V'B'=m, OB=R, O'B'=r, VO=H, VO'=h, OM=aB, O'M'=ab, VM=aP, VM'=ap D C O M A B

aP at Obs. i) I=H-h a) Segmente ii) at=aP-ap omoloage ap 2. Elemente omoloage V V ap h aP D' C' M' O' H O' M' A' B' at I D C O M O M A B Obs. i) I=H-h ii) at=aP-ap a) Segmente omoloage

Obs. i) I=H-h ii) at=aP-ap iii) mt=M-m a) Segmente omoloage m M mt 2. Elemente omoloage V V m M O' D' C' O' B' M' A' B' mt D C O O M B Obs. i) I=H-h ii) at=aP-ap iii) mt=M-m A B a) Segmente omoloage

Obs. i) AABB'A'= AVAB-AVA'B‘ ; AOMM'O'= AVOM-AVO' M‘ etc. 2. Elemente omoloage V b) Suprafeţe omoloage: ABCD cu A‘B‘C‘D, VAB cu VA‘B‘ VOM cu VO‘M' etc. D' C' O' M' A' B' Obs. i) AABB'A'= AVAB-AVA'B‘ ; AOMM'O'= AVOM-AVO' M‘ etc. ii) Al t =Al P-Al p , Al t – aria laterală a trunchiului de piramidă, Al P – aria laterală a piramidei mari, Al p – aria laterală a piramidei mici. D O M A B

3. Raport de asemănare V (A‘B‘C‘) ║ (ABC) A‘B' ║AB B‘O'║BO O‘M'║OM ~ ΔABC ΔVO‘B‘ ~ ΔVOB ΔVO‘M‘ ~ ΔVOM B' D C O M A B

3. Raport de asemănare V Utilizând notaţiile uzuale, avem: D C O M B' D C O M Definiţie: Raportul de asemănare a două segmente omoloage se numeşte raportul de asemănare al corpurilor asemenea. A B

Ex. 4. Raportul ariilor Teoremă: Raportul ariilor a două suprafeţe V Ex. D' C' O' M' A' B' D Teoremă: Raportul ariilor a două suprafeţe omoloage corespunzătoare unei perechi de piramide asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare. O M A B

Obs. Vt=Vp-VP V 5. Raportul volumelor Teoremă: V Raportul volumelor a două piramide asemenea este egal cu cubul raportului de asemănare. V C' D' O' M' D' C' A' B' O' M' A' B' D C O M A B Obs. Vt=Vp-VP

6. Problemă O piramidă regulată având înălţimea egală cu a cm, a ,este secţionată cu un plan paralel cu baza astfel încât se obţin două corpuri cu ariile laterale egale. Demonstraţi că distanţa de la vârful piramidei la planul de secţiune este egală cu cm. SAM Păuneşti, Vrancea Prof. Severin Cristinel