PROPRIETĂŢILE DETERMINANŢILOR

Prezentarea pe tema: "PROPRIETĂŢILE DETERMINANŢILOR"— Transcriere de prezentare:

1 PROPRIETĂŢILE DETERMINANŢILOR

2 PROPRIETATEA 1. P1: Determinantul unei matrici este egal cu
determinantul matricii transpuse adică : Obs: Acesta propoziţie ne arată că orice proprietate valabilă pentru linii este valabilă şi pentru coloane.

3 EXEMPLU

4 PROPRIETATEA 2 P2 : Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-un determinant sunt nule, atunci determinantul este nul.

5 EXEMPLU

6 PROPRIETATEA 3 P3: Dacă într-un determinant schimbăm două linii (sau coloane) între ele, atunci obţinem o un determinant egal cu opusul determinantului iniţial.

7 EXEMPLU În B am schimbat liniile 1 şi 2 din A.

8 PROPRIETATEA 4 P4: Dacă un determinant are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul este nul.

9 EXEMPLU L1 identică cu L3 C1 identică cu C2

10 PROPRIETATEA 5 P5: Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-un determinant sunt înmulţite cu un număr k, atunci obţinem un determinant care este egal cu k înmulţit cu determinantul iniţial.

11 EXEMPLU Dacă înmulţim elementele liniei 2 cu 4 obţinem : Deci

12 OBSERVAŢIE Obs: LA DETERMINANT SE POATE SCOATE FACTOR COMUN NUMAI DE PE O LINIE SAU COLOANĂ DECI DETERMINANTUL CARE RĂMÂNE ESTE MAI UŞOR DE CALCULAT.

13 EXEMPLU

14 PROPRIETATEA 6 P6: Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei determinant sunt proporţionale, atunci determinantul este nul.

15 EXEMPLU Evident că liniile 1 şi 2 sunt proporţionale deci determinantul va fi nul.

16 PROPRIETATEA 7 P7: Dacă o linie (sau coloană) dintr-un determinant este o combinatie liniară a celorlalte linii (sau coloane), atunci determinantul este nul.

17 EXEMPLU Observăm că coloana 2 este media aritmetică a coloanei 1 respectiv 3, deci determinantul este nul.

18 PROPRIETATEA 8 P8: Dacă la o linie (sau coloană) adunăm elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi număr nenul, atunci determinantul are aceeaşi valoare.

19 EXEMPLU

20 PROPRIETATEA 9 P9:

21 EXEMPLU

22 REŢINEM Dacă avem două linii(coloane) egale, atunci determinantul este egal cu zero; Dacă toate elementele unei linii(coloane) sunt egale cu zero, atunci determinantul este nul; Dacă o linie(coloană) este o combinaţie liniară a altor două linii(coloane), atunci determinantul este egal cu zero; Dacă avem două linii(coloane) proporţionale, atunci determinantul este nul;

23 Material realizat de prof. Traian Cotfas