Relatii intre radacini si coeficienti (relatiile lui Viète)
Relatiile lui Viète Sunt foarte utile in numeroase aplicatii cand se cere sa se determine radacinile unui polinom (sau ale unei ecuatii) si cand se cunoaste o relatie suplimentara intre radacini.
Relatiile lui Viète Teorema: Fie f C[X] un polinom de grad 3. Numerele complexe x1 , x2 , x3 sunt radacinile polinomului daca si numai daca verifica relatiile lui Viète, adica relatiile (1). Exercitiu: Demonstrati teorema tinand cont de faptul ca prin calcul direct se obtine ca
Relatiile lui Viète Teorema: Fie f C[X] un polinom de grad n. Numerele complexe x1 , x2 ,… xn sunt radacinile polinomului f daca si numai daca verifica relatiile lui Viète, adica relatiile (2).
Relatiile lui Viète Daca consideram ecuatia asociata: (3) anxn + …+a1x +a0=0 , relatiile (2) se numesc si relatii intre radacinile si coeficientii ecuatiei (3).
Exercitii 1. Sa se scrie relatiile lui Viète pentru un polinom f C[X], de grad 4. 2. Sa se determine parametrul m astfel incat o radacina a ecuatiei x3-28x+m=0 sa fie dublul altei radacini. 3. Daca x1 , x2 , x3 sunt radacinile polinomului f=2X3-2X2-5X+6, sa se calculeze suma patratelor radacinilor.
Exercitii 4. Sa se rezolve ecuatia 9x3-18x2+11x-2=0 stiind ca intre radacini exista relatia x1+x2=x3 5. Sa se rezolve ecuatia algebrica 4x3-12x2+11x-3=0 stiind ca radacinile sale sunt in progresie aritmetica. Tema: manual- ex.1/178, 2/178,3/179, 4/179