C 10

2.2. VARIABILE ALEATOARE BIDIMENSIONALE Fie, 𝑋: & 𝑥 𝑖 & 𝑝 𝑖 𝑖∈𝐼 𝑌: & 𝑦 𝑗 & 𝑞 𝑗 𝑗∈𝐽 variabile aleatoare discrete. 𝑝 𝑖𝑗 =𝑃 𝑋= 𝑥 𝑖 ,𝑌= 𝑦 𝑗 ,𝑖= 1,𝑚 ,𝑗= 1,𝑛 , 𝑝 𝑖 = 𝑗=1 𝑛 𝑝 𝑖𝑗 ,𝑖= 1,𝑚 , 𝑞 𝑗 = 𝑖=1 𝑚 𝑝 𝑖𝑗 ,𝑗= 1,𝑛 𝑖=1 𝑚 𝑗=1 𝑛 𝑝 𝑖𝑗 =1.

Definitia 1: -V.a X si Y se numesc repartitii marginale pentru vectorul ( X,Y ) - Z= ( X,Y ) se numeste repartitia comuna pentru vectorul ( X,Y ) Definiţia 2. Se numeşte covarianţa variabilelor aleatoare 𝑋 şi 𝑌 numărul: 𝑐𝑜𝑣 ( 𝑋,𝑌)=𝑀(𝑋𝑌)−𝑀(𝑋)⋅𝑀(𝑌). Proprietati : 1. Daca X si Y sunt independente, atunci 𝑐𝑜𝑣 ( 𝑋,𝑌)=0. 2. 𝑐𝑜𝑣 ( 𝑎⋅𝑋,𝑏⋅𝑌)=𝑎⋅𝑏⋅ 𝑐𝑜𝑣 ( 𝑋,𝑌), 𝑎,𝑏∈𝑅 Demonstratii Definiţia 3. Variabilele aleatoare 𝑋 şi 𝑌se numesc necorelate dacă 𝑐𝑜𝑣 ( 𝑋,𝑌)=0.

Definiţia 4. Se numeşte coeficientul de corelaţie al variabilelor aleatoare 𝑋 şi 𝑌 numărul: 𝜌(𝑋,𝑌)= 𝑐𝑜𝑣 ( 𝑋,𝑌) 𝜎(𝑋)⋅𝜎(𝑌) = 𝑀(𝑋𝑌)−𝑀(𝑋)⋅𝑀(𝑌) 𝜎(𝑋)⋅𝜎(𝑌) .   Proprietati. Dacă 𝑋, 𝑌 sunt independente, atunci 𝜌(𝑋,𝑌)=0. 𝜌(𝑋,𝑌) ≤1. Dacă 𝜌(𝑋,𝑌) =1, atunci între 𝑋 şi 𝑌 există o dep. liniară.

APLICAȚII

Fie (X,Y) o variabilă aleatoare bidimensională cu repartiția dată de a) Să se completeze tabloul repartiției si să se determine repartiţiile marginale. b) Calculati abaterea standard pentru v.a. Y si covarianţa v.a. X și Y . 0,2 0,1 0,4 0,5 1

Rezolvare: Rezultă repartiţiile variabilelor 𝑋, 𝑌: 𝑋: & 0 &0,6 & 3 &0,4 ; 𝑌: &−1 & 0,5 & 0 &0,5 şi repartiţia comună a variabilelor 𝑋, 𝑌din tabelul de mai sus. 0,2 0,1 0,4 0,5 1

𝑏) − 𝑀 𝑌 = 𝑗=1 2 𝑦 𝑗 𝑞 𝑗 = −1 ⋅0,5+0 ⋅0,5=−0,5; − 𝑀 𝑌 = 𝑗=1 2 𝑦 𝑗 𝑞 𝑗 = −1 ⋅0,5+0 ⋅0,5=−0,5; - 𝑀( 𝑌 2 )= 𝑗=1 2 𝑦 𝑗 2 𝑞 𝑗 =(−1 ) 2 ⋅0,5+ 0 2 ⋅0,5=0,5; 𝐷 𝑌 =𝑀 𝑌 2 − 𝑀 2 𝑌 =0,5− (−0,5) 2 =0,5−0,25=0,25⇒𝜎 𝑌 = 𝐷 𝑌 =0,5 − 𝑀(𝑋)= 𝑖=1 2 𝑥 𝑖 𝑝 𝑖 = −1 ⋅0,6+3 ⋅0,4=1,2; − 𝑀 𝑋𝑌 = 𝑖=1 2 𝑗=1 2 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 𝑝 𝑖𝑗 =0⋅ −1 ⋅0,4+0⋅0⋅0,2+3⋅ −1 ⋅0,1+3⋅0⋅0,3=−0,3. Cov(X,Y)= 𝑀(𝑋𝑌)−𝑀(𝑋)⋅𝑀(𝑌)= − 0,3 − 1,2 ⋅(− 0,5) = 0,3