C 3

CAP 2: Matematici financiare Factori de fructificare în regim de capitalizare - Se numeşte capital orice fond de bunuri economice exprimat în formă bănească. - Se numeşte operaţiune financiară orice acţiune care produce o modificare a valorii capitalului - Considerăm următoarea operaţiune financiară: la momentul t0 = 0 partenerul P1 cedează capitalul S0 partenerului P2 , iar în schimb P2 cedează lui P1 capitalul St la momentul t. - S0 se numeşte capitalul iniţial, valoarea iniţială sau valoarea actuală a operaţiunii. - St = S (S0 , t) se numeşte capitalul final sau valoarea finală a operaţiunii financiare. - Dobânda corespunzătoare capitalului S0 pe durata de timp t este: 𝐷= 𝑆 𝑡 − 𝑆 0

2.1 DOBÂNDA SIMPLĂ Definiţie. Spunem că o operaţiune financiară se desfăşoară în regim de dobândă simplă dacă dobânda se calculează asupra aceluiaşi capital pe toată durata folosirii acestuia. Pentru 𝑖≥0 fixat, factorul de fructificare𝑓(𝑡)=1+𝑖𝑡,𝑡≥0 defineşte regimul de dobândă simplă S0 St 0 t   Capitalul final în regim de dobândă simplă: 𝑆 𝑡 = 𝑆 0 1+𝑖⋅𝑡 se numeşte formula de fructificare în regim de dobândă simplă. Factorul 1+𝑖⋅𝑡 se numeşte factor de fructificare în regim de dobândă simplă. Dobânda simplă: 𝐷= 𝑆 0 ⋅𝑖⋅𝑡

t reprezintă durata operaţiunii, exprimată în ani. i este rata anuală a dobânzii sau dobânda anuală unitară şi reprezintă dobânda produsă de un capital în valoare de 1 u.m. pe o durată de timp egală cu un an. p = 100i se numeşte procent anual şi reprezintă dobânda produsă de un capital initial în valoare de 100 u.m. pe o durată de timp egală cu un an. Capitalul iniţial în regim de dobândă simplă: 𝑆 0 = 𝑆 𝑡 1+𝑖𝑡

Observaţia 1. Dacă se consideră anul fracţionat în m părţi şi durata de timp a operaţiunii este egală cu nm fracţiuni de an, atunci 𝑡= 𝑛 𝑚 𝑚 . Atunci când operaţiunea financiară se desfăşoară pe o perioadă exprimată în zile, pentru determinarea numărului de zile al nu se ia în calcul fie prima fie ultima zi a operaţiunii. Pe plan internaţional există trei proceduri de calcul al duratei t: procedura engleză, pentru care anul are 365 sau 366 zile, iar lunile sunt cele calendaristice, cu 28, 29, 30 sau 31 zile; procedura franceză, pentru care anul are 360 zile, iar lunile sunt cele calendaristice; procedura germană, pentru care anul are 360 zile şi lunile sunt egale cu 30 zile. Observaţia 2. Dacă nu se specifică altfel, în probleme se va folosi procedura germană.

2.2 DOBÂNDA COMPUSĂ Definiţie. Spunem că o operaţiune financiară se desfăşoară în regim de dobândă compusă dacă dobânda se capitalizează pe fiecare fracţiune a duratei de timp a operaţiunii. Mai precis, dacă durata de timp a operaţiunii este împărţită în mai multe perioade, capitalul iniţial al fiecărei perioade este fructificat în regim de dobândă simplă pe durata respectivă, iar capitalul final al fiecărei perioade devine capital iniţial al perioadei următoare. Pentru 𝑖≥0 fixat, factorul de fructificare𝑓(𝑡)=(1+𝑖 ) 𝑡 ,𝑡≥0defineşte regimul de dobândă compusă Considerăm operaţiunea de plasare a capitalului S0 pe durata t în regim de dobândă compusă Presupunem că durata de timp t este împărţită în n perioade cu duratele t1, t2,…., tn, iar procentele anuale corespunzătoare acestor perioade sunt p1=100 i1, p2=100 i2,…., pn=100 in.

Notăm cu S1, S2 ,… , Sn valorile finale ale capitalului S0 la sfârşitul celor n perioade. Aplicăm formula de fructificare în regim de dobândă simplă pe fiecare perioadă: 𝑆 1 = 𝑆 0 1+ 𝑖 1 𝑡 1 𝑆 2 = 𝑆 1 1+ 𝑖 2 𝑡 2 = 𝑆 0 1+ 𝑖 1 𝑡 1 1+ 𝑖 2 𝑡 2 ……………………………….. 𝑆 𝑛 = 𝑆 𝑛−1 1+ 𝑖 𝑛 𝑡 𝑛 = 𝑆 0 1+ 𝑖 1 𝑡 1 1+ 𝑖 2 𝑡 2 .... 1+ 𝑖 𝑛 𝑡 𝑛 . Prin urmare, 𝑆 𝑛 = 𝑆 0 1+ 𝑖 1 𝑡 1 1+ 𝑖 2 𝑡 2 .... 1+ 𝑖 𝑛 𝑡 𝑛 formula de fructificare în regim de dobândă compusă

Cazuri particulare:   a) Dacă t1= t2 =.......= tn = 1 an, atunci 𝑆 𝑛 = 𝑆 0 1+ 𝑖 1 1+ 𝑖 2 .... 1+ 𝑖 𝑛 Dacă t1= t2 =.......= tn = 1 an şi i1= i2 =.......= in = i, atunci 𝑆 𝑛 = 𝑆 0 1+𝑖 𝑛 Dacă 𝑡=𝑛+ 𝑡 𝑚 𝑚 ( n ani şi tm fracţiuni de an), atunci St se poate calcula în doua moduri: 𝑆 𝑡 = 𝑆 0 1+𝑖 𝑛 1+ 𝑖 𝑚 𝑡 𝑚 formula raţională 𝑆 𝑡 = 𝑆 0 1+𝑖 𝑛+ 𝑡 𝑚 𝑚 formula comercială Dobânda compusă corespunzătoare plasării sumei S0 pe durata t este: 𝐷= 𝑆 𝑡 − 𝑆 0

Aplicații

1. Depunem un capital în valoare 10 1. Depunem un capital în valoare 10.000 lei în regim de dobândă simplă pe o durată de zece luni la o bancă ce acordă un procent anual de 6%. Să se determine: a) dobânda realizată după zece luni; b) capitalul de care vom putea dispune la scadenţă; Rezolvare: Cunoaştem: capitalul iniţial S0 = 10.000 lei; durata operaţiunii, exprimată în ani 𝑡= 10 12 ; dobânda anuală unitară 𝑖= 𝑝 100 = 6 100 . a) Dobânda realizată după zece luni este: 𝐷= 𝑆 0 ⋅𝑖⋅𝑡=10.000⋅ 6 100 ⋅ 10 12 =500 lei. b) Capitalul disponibil la scadenţă este: St = S0 + D = 10.500 lei.

2. O persoană ce dispune de un capital în valoare de 10 2. O persoană ce dispune de un capital în valoare de 10.000 euro poate opta pentru una din următoarele variante de plasare a acestuia în regim de dobândă compusă timp de 4 ani: cu un procent anual constant de 4%; b) cu procentele anuale de 3% în primul an, 4% în următorii doi şi 5% în ultimul an. Să se determine valoarea finală a capitalului plasat şi dobânda obţinută în fiecare caz. Rezolvare: a) Avem: S0 = 10.000 euro; t = 4 ani, p = 4% => i = 0,04. Deoarece procentul anual este constant pe întreaga durată a operaţiunii, aplicăm formula şi obţinem valoarea finală după patru ani a sumei plasate: 𝑆 4 = 𝑆 0 (1+𝑖) 4 =10.000 (1,04) 4 =11.698,58 euro. Dobânda realizată în acest caz este: D = S4 - S0 = 11.698,58 euro.

b) Avem: S0 = 10.000 euro; t = 4 ani; 𝑝 1 =3%, 𝑝 2 = 𝑝 3 =4%, 𝑝 4 = 5%⇒ 𝑖 1 =0,03, 𝑖 2 = 𝑖 3 =0,04, 𝑖 4 =0,05. Deoarece procentul anual este variabil, obţinem valoarea finală după patru ani a sumei plasate: 𝑆 4 = 𝑆 0 1+ 𝑖 1 1+ 𝑖 2 1+ 𝑖 3 1+ 𝑖 4 = 10.000 1,03 1,04 2 1,05 =11.697,50euro. Dobânda realizată în acest caz este: D = S4 - S0 = 1.697,5 euro.

3. Să se determine valoarea finală şi dobânda aferentă plasării sumei de 4.000 dolari pe durata de 3 ani şi 5 luni, dacă procentele anuale corespunzătoare celor 4 ani sunt: a) 5%, 4%, 3,5% şi respectiv 3%; b) 4% pe întreaga perioadă. Rezolvare: a) Avem: S0 = 4.000 $; 𝑡=3+ 5 12 ani, i1 = 0,05, i2 = 0,04 , i3 = 0,035 , i4 = 0,03. Deoarece procentul anual este variabil, aplicăm formula şi obţinem valoarea finală a sumei plasate: 𝑆 𝑡 = 𝑆 0 1+ 𝑖 1 1+ 𝑖 2 1+ 𝑖 3 1+ 𝑖 4 5 12 =4.000(1,05)(1,04)(1,035)(1+0,03 5 12 ) , prin urmare St = 4.577,39 $, iar dobânda este D = St - S0 = 577,39 $.

b) Avem: S0 = 4.000 $; 𝑡=3+ 5 12 ani , i =0,04. Deoarece procentul anual este constant şi durata operaţiunii nu este un număr întreg de ani, putem determina valoarea finală folosind una din variantele: formula raţională: 𝑆 𝑡 = 𝑆 0 1+ 𝑖 1 3 1+𝑖 5 12 =4.000 1,04 3 1+0,04 5 12 =4.574,44$ , deci D = St - S0 = 574,44 $. formula comercială 𝑆 𝑡 = 𝑆 0 1+ 𝑖 1 3+ 5 12 =4.000 1,04 3+ 5 12 =4.506,81$, iar D = St - S0 = 506,81 $

4. Cu ce procent trebuie plasat un capital în valoare de 10 4. Cu ce procent trebuie plasat un capital în valoare de 10.000 lei timp de 3 ani în regim de dobândă compusă pentru a obţine la scadenţă o dobândă de 4.000 lei? Rezolvare: Se cunosc: capitalul iniţial S0 = 10.000lei, durata de timp t = 3 ani, dobânda D = 4.000 lei. Folosind formula D = St - S0, obţinem St = 14.000 lei Din formula capitalului final, 𝑆 𝑡 = 𝑆 0 1+𝑖 𝑡 , rezultă 14.000=10.000 1+𝑖 3 , prin urmare 1+𝑖 3 =1.4⇒1+𝑖= 3 1,4 =1,1186⇒𝑖=0,1186⇒ 𝑝=11,86%.