Prelucrarea semnalelor

Prezentarea pe tema: "Prelucrarea semnalelor"— Transcriere de prezentare:

1 Prelucrarea semnalelor
2 x 14 = 28 ore curs; 1x 14 =14 ore laborator; program: miercuri EA004 laborator: EC103 consultatii: miercuri EB129 Examinare scrisa - probleme Nota finala: 0.5examen+0.3laborator + 0.2teme de casa (+ 0.05lucrari curs); Titular curs: Prof.dr.ing. Mihaela Albu Laborator: s.l. dr. ing. Felix Adochiei ing. drd. Ana Toma

2 Programa cursului: Introducere: Repere temporale esenţiale în domeniul prelucrarii semnalelor. Semnale şi sisteme analogice si numerice. Semnale periodice si concentratori de informatie; agregarea datelor. Breviar matematic. Convolutie; Transformate uzuale: Analiza Fourier; Transformate Fourier; Transformata z. Simularea numerică. Convoluţia semnalelor numerice. Puterea si energia unui semnal. Definitii. Filtre. Clasificare şi implementare: filtre FIR (cu faza liniara); filtre IIR (Butterworth; Bessel; Cebisev; eliptice; transformari in frecventa). Filtre numerice (MA, Windowed-sinc, specializate; metode de proiectare prin transformarea filtrelor analogice in filtre numerice). Procese stochastice. Semnale aleatoare. Elemente de prelucrare numerica a semnalelor aleatoare in sisteme liniare.

3 Analiza spectrala Limitarile transformatelor Fourier (TF)
TF sunt eficiente si simple, cu rezultate satisfacatoare pentru o clasa larga de semnale (cu SNR mare) Rezolutia in frecventa (capacitatea de a distinge intre raspunsurile spectrale a doua sau mai multe semnale) limitata Spectral Leakage pentru ferestre implicite (lobii principali ai raspunsului in frecventa se amesteca in lobii secundari) Nu sunt exacte pentru inregistrari scurte (de regim stationar), spectre continue sau sinusoide de benzi apropiate.

4 Analiza spectrala Densitatea spectrala de putere (power density spectrum) Semnalelor cu energie finita li se poate aplica transformata Fourier si sunt caracterisate de pds: Fie x[n] un semnal de lungime N a carui transformata Fourier discreta (DFT) este X[k]. Teorema lui Parseval:  𝐸= 𝑛=0 𝑁−1 |𝑥 𝑛 | 2 = 1 𝑁 𝑘=0 𝑁−1 |𝑋 𝑘 | 2 se numeste spectrul de putere (power spectrum) si este o masura a puterii semnalului la o anumita frecventa fk. |𝑋 𝑘 | 2

5 Analiza spectrala Densitatea spectrala de putere (power density spectrum) Procesele aleatoare stationare NU au energie finite  nu li se poate define transformata Fourier (nu exista integrala). Astfel de semnale au insa putere medie finita si atunci sunt caracterizate de POWER DENSITY SPECTRUM (PDS): 𝑃(𝑘)= 1 𝑁 |𝑋 𝑘 | 2 = 1 𝑁 𝑋 𝑘 𝑋 𝑘 ∗ Sau, power spectral density, sau doar power spectrum. Ex. Matlab: pxn=abs(fft(xn,1024)).^2/N;

6 Analiza spectrala DFT pentru 𝑥′ 𝑚 (n) 
Pentru limitarea efectelor trunchierii semnalelor se folosesc ferestrele w[n]: 𝑥′ 𝑚 (n)=w(n) 𝑥 𝑚 (n), n=0, …., N-1 DFT pentru 𝑥′ 𝑚 (n)  𝑃 𝑚 (k)= 1 𝑁𝑃 𝑤 ⎸ 𝑋 ′ 𝑚 (𝑘)⎸ 2 , 0≤k≤N-1, unde 𝑃 𝑤 = 1 𝑁 𝑛=0 𝑁−1 𝑤 2 (n) PDS este media (ponderata) a acestor periodograme: P(k)= 1 𝑀 𝑚=0 𝑀−1 𝑃 𝑚 (k) = 1 𝑀𝑁𝑃 𝑤 𝑚=0 𝑀−1 ⎸ 𝑋′ 𝑚 (𝑘)⎸ 2 , 0≤k≤N-1 Sen Kuo, BobLee, Real-time Digital Signal Processing, Wiley 2001

7 Analiza spectrala. Spectrograma
Pentru un semnal variabil in timp, devine util sa se calculeze spectrul local, capabil sa releve continutul spectral pe intervale de timp finite (scurte).  se utilizeaza ferestre alunecatoare de durata (lugime) N  se aplica FFT pentru a obtine spectrul de frecventa variabil in timp: 𝑋 𝑚 (k)= 𝑛=0 𝑁−1 𝑥′ 𝑚 (n) 𝑊 𝑁 𝑘𝑛 , k=0, 1……, N-1 Ex. Matlab: B=specgram(a, nfft, Fs, window, noverlap);

8 Analiza spectrala. Reprezentari in frecventa
Fie un process aleatory ergodic x(n]. Functia de autocorelatie 𝑟 𝑥𝑥 𝑘 este o carcateristica a 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑢𝑙𝑢𝑖, 𝑑𝑒𝑐𝑖 𝑁𝑈 se schimba in functie de secventa aleatoare x n .  aplicam transformata Fourier acestui semnal (autocorelatia) si NU lui x[n]: 𝑃 𝑥𝑥 ɷ = 𝑘=−∞ ∞ 𝑟 𝑥𝑥 (k) 𝑒 −𝑗ɷ𝑘 Pxx este densitatea de putere spectrala (PDS), respectiv (in spatial z): 𝑃 𝑥𝑥 𝑧 = 𝑘=−∞ ∞ 𝑟 𝑥𝑥 (k) 𝑧 −𝑘 Aplicand transformata inversa, rezulta ca autocorelatia este transfromata Fourier in timp discret inversa a densitatii de putere spectrala : 𝑟 𝑥𝑥 𝑘 = 1 2Π −Π Π 𝑃 𝑥𝑥 (ɷ) 𝑒 𝑗ɷ𝑘 dɷ iar valoarea medie este: E[ 𝑥 2 (n)] = 𝑟 𝑥𝑥 (0) = 1 2Π −Π Π 𝑃 𝑥𝑥 dɷ adica 𝑟 𝑥𝑥 (0) este puterea medie a semnalului x[n].

9 Analiza spectrala. Reprezentari in frecventa
Pentru doua procese aleatoare stationare in sens larg (WSS, wide sense stationary, cu media independenta de timp si autocorelatia dependenta doar de lungimea intervalului de timp dintre secvente) x(n) si y(n), transformata Fourier discreta rezulta in spectrul de putere cross-power spectrum: 𝑃 𝑥𝑦 (ꙍ)= 𝑘=−∞ ∞ 𝑟 𝑥𝑦 (k) 𝑒 −𝑗ꙍ 𝑘 𝑃 𝑥𝑦 (z)= 𝑘=−∞ ∞ 𝑟 𝑥𝑦 (k) 𝑧 −𝑘

10 Analiza Spectrala. Exemplu: semnal cu mai multe componente: DC, 100Hz, 200Hz. Puterea medie teoretica a fiecarei componente este A^2/4. Semnalul d.c. va avea o putere medie Ao^2. Puterea medie totala va fi: power_theoretical = Ao^2 + (A1^2/4)*2 + (A2^2/4)*2 calcul in Matlab: se defineste obiectul [handle] periodogram spectrum si se aplica apoi metoda msspectrum pentru calcularea si reprezentarea grafica a puterii spectrale medii a semnalului.

11 Analiza Spectrala. Exemple: Power Spectral Density Demo psddemo
3 componente: 1. Semnale --> narrowband (sinusoids) and broadband (autoregressive process) components -->numai componente de banda ingusta --> white gaussian noise. 2. Estimare spectrala 3. Monte Carlo simulation pentru compararea caracteristicilor fiecarui estimator.

12 Analiza spectrala Semnale de referinta:
Se vor utiliza urmatoarele semnale pentru generarea a N=250 esantioane la o frecventa de esantionare de:

13 Filtrare adaptiva Filtrarea: proces liniar care are ca scop principal alterarea continutului spectral al unui semnal, de maniera specificata. Filtrarea “conventionala”: FIR si IIR - sisteme invariante in timp - se efectueaza asupra semnalului de intrare operatii matematice ai caror coeficienti sunt constanti in timp. Filtrele adaptive: NU sunt invariante in timp! Coeficientii filtrului sunt variati automat pe baza unui algoritm adaptiv in functie de semnalul de intrare --> aplicabilitate in sistemele /procesele pentru care nu se cunoaste tipul de filtrare potrivit sau atunci cind procesul este nestationar.

14 Intrebari / semnalare erori (!)
.