AT 1, 2.

Prezentarea pe tema: "AT 1, 2."— Transcriere de prezentare:

1 AT 1, 2

2 DISCUȚII ADMINISTRATIVE

3 PARTEA 1: ANALIZĂ MATEMATICĂ CAPITOLUL 3: SERII 3
PARTEA 1: ANALIZĂ MATEMATICĂ CAPITOLUL 3: SERII 3.1 SERII DE NUMERE REALE

4 Complemente pentru serii numerice: 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 1
Complemente pentru serii numerice: 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 1. Serii alternate 𝑛=1 ∞ (−1) 𝑛 𝑎 𝑛 , 𝑎 𝑛 >0 Propoziție (criteriul lui Leibniz) Dacă 𝑎 𝑛 𝑛 0 𝑎 𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑎𝑡𝑜𝑟 => 𝑛=1 ∞ (−1) 𝑛 𝑎 𝑛 este serie convergentă Exemplu: 𝑛=1 ∞ −1 𝑛 1 𝑛

5 2. Seria armonică generalizată 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 ∝ ,∝∈𝑅 .
∝>1 seria convergentă ∝≤1seria divergentă Exemple: 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 2 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 𝑛=1 ∞ 1 𝑛

6 3.2 SERII DE PUTERI Definiție: 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑥∈𝑅
Teorema 1 (Teorema lui Abel). Pentru orice serie de puteri 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 există 𝑅, 0≤𝑅≤∞, astfel încât: 1) seria este absolut convergentă pe intervalul −𝑅,𝑅 ; 2) seria este divergentă pe mulţimea −∞,−𝑅 ∪ 𝑅,∞ ; Observații: 𝑅 se numeşte rază de convergenţă Intervalul −𝑅,𝑅 se numește interval de convergență

7 Teorema 2 (Cauchy-Hadamard)
Teorema 2 (Cauchy-Hadamard). Fie 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 o serie de puteri şi 𝑅 raza de convergenţă a acesteia. Atunci: 𝑅= lim 𝑛 ∞ 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛+1 Exemple:

8 1. Să se studieze convergenţa seriei de puteri: 𝑛=1 ∞ −1 𝑛 1 𝑛⋅ 5 𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛 ,𝑥∈𝑅.
Rezolvare: 𝑎 𝑛 = −1 𝑛 1 𝑛⋅ 5 𝑛 𝑅= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛+1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ −1 𝑛 1 𝑛⋅ 5 𝑛 (−1) 𝑛+1 1 (𝑛+1)⋅ 5 𝑛+1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛⋅ 5 𝑛 (𝑛+1)⋅ 5 𝑛+1 = lim 𝑛 ∞ 5(𝑛+1) 𝑛 =5 , deci 𝑅=5. Conform teoremei lui Abel, rezultă că: seria este absolut convergentă pe intervalul −5,5 ; seria este divergentă pe mulţimea −∞,−5 ∪ 5,∞ ;

9 Studiem natura pentru x=±5:
Pentru x=5, seria de puteri devine: 𝑛=1 ∞ −1 𝑛 1 𝑛⋅ 5 𝑛 ⋅ 5 𝑛 , adică 𝑛=1 ∞ −1 𝑛 1 𝑛 ; şirul 𝑢 𝑛 = 1 𝑛 este descrescător şi are limita zero; rezultă, conform criteriului lui Leibniz, că seria 𝑛=1 ∞ −1 𝑛 1 𝑛 este convergentă. Pentru x=−5, seria de puteri devine: 𝑛=1 ∞ −1 𝑛 1 𝑛⋅ 5 𝑛 ⋅(−5 ) 𝑛 , adică 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 , care este divergentă (seria armonică). În concluzie, seria de puteri este convergentă pe mulţimea −5,5 .

10 2. Să se studieze convergenţa seriei de puteri: 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 2 ⋅ 3 𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛 ,𝑥∈𝑅.
Rezolvare: 𝑎 𝑛 = 1 𝑛 2 ⋅ 3 𝑛 𝑅= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛+1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑛 2 ⋅ 3 𝑛 (𝑛+1) 2 ⋅ 3 𝑛+1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 1 𝑛 2 ⋅ 3 𝑛 (𝑛+1) 2 ⋅ 3 𝑛+1 = lim 𝑛 ∞ 3 𝑛 𝑛 2 =3 , deci 𝑅=3. Conform teoremei lui Abel, rezultă că: seria este absolut convergentă pe intervalul −3,3 ; seria este divergentă pe mulţimea −∞,−3 ∪ 3,∞ ;

11 Studiem natura pentru x=±3:
Pentru x=3, seria de puteri devine: 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 2 ⋅ 3 𝑛 ⋅ 3 𝑛 , adică 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 2 , care este convergentă (seria armonică cu ∝>1 ). Pentru x=−3, seria de puteri devine: 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 2 ⋅ 3 𝑛 ⋅(−3 ) 𝑛 , adică 𝑛=1 ∞ −1 𝑛 1 𝑛 2 ; şirul 𝑢 𝑛 = 1 𝑛 2 este descrescător şi are limita zero; rezultă, conform criteriului lui Leibniz, că seria 𝑛=1 ∞ −1 𝑛 1 𝑛 2 este convergentă. În concluzie, seria de puteri este convergentă pe mulţimea −3,3 .

12 CAPITOLUL 1: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE
1.1. DERIVABILITATE Exemplu: Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi şi doi ale funcţiei 𝑓: 𝑅 2 →𝑅,𝑓 𝑥,𝑦 = 2𝑥 3 𝑦 2 Rezolvare: 𝑓 𝑥 ′ 𝑥,𝑦 = 6𝑥 2 𝑦 2 𝑓 𝑦 ′ 𝑥,𝑦 = 4𝑥 3 𝑦 𝑓′′ 𝑥𝑥 𝑥,𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥 ′ 𝑥 =12𝑥 𝑦 2 𝑓′ ′ 𝑦𝑦 (𝑥,𝑦)= 𝑓 ′ 𝑦 ′ 𝑦 = 4𝑥 3 𝑓′′ 𝑥𝑦 𝑥,𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥 ′ 𝑦 = 12𝑥 2 𝑦 𝑓′′ 𝑦𝑥 𝑥,𝑦 = 𝑓 ′ 𝑦 ′ 𝑥 = 12𝑥 2 𝑦

13 1.2 EXTREMELE LIBERE ALE FUNCȚIILOR DE MAI MULTE VARIABILE
Algoritm de determinare a punctelor de extrem local ale funcţiei de 2 variabile Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului: & 𝑓 𝑥 ′ (𝑥,𝑦)=0 & 𝑓 𝑦 ′ (𝑥,𝑦)=0

14 Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de
extrem local. Pentru fiecare punct staţionar P (a1, a2) calculăm matricea hessiană: 𝐻(a1, a2)= 𝑓′′ 𝑥 2 (a1, a2) 𝑓′′ 𝑥𝑦 (a1, a2) 𝑓′′ 𝑦𝑥 (a1, a2) 𝑓′′ 𝑦 2 (a1, a2) - Calculam minorii acesteia ∆1, ∆2 , unde ∆i este minorul format din primele i linii şi i coloane ale matricei H (a1, a2)

15 Discuţie: Daca ∆2 < 0 atunci P (a1, a2) este punct sa Dacă ∆2 > 0 si ∆1 > 0 , atunci P (a1, a2) este punct de minim local. Dacă ∆2 > 0 si ∆1 < 0 , atunci P (a1, a2) este punct de maxim local. Observatii 1)cazul n=2 2)cazul n≥2

16 Exemple 1. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei: 𝑓: 𝑅 2 →𝑅,𝑓(𝑥,𝑦)=2 𝑥 2 + 𝑦 3 −6𝑥𝑦+1. Rezolvare: Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului: & 𝑓 𝑥 ′ (𝑥,𝑦)=0 & 𝑓 𝑦 ′ (𝑥,𝑦)=0 . Avem că: 𝑓 𝑥 ′ (𝑥,𝑦)=4𝑥−6𝑦 𝑓 𝑦 ′ (𝑥,𝑦)=3 𝑦 2 −6𝑥, prin urmare rezultă sistemul: &4𝑥−6𝑦=0 &3 𝑦 2 −6𝑥=0 ⇔ &2𝑥−3𝑦=0 & 𝑦 2 −2𝑥=0 ⇔ &𝑥= 3𝑦 2 & 𝑦 2 −3𝑦=0 .

17 Din a doua ecuaţie obţinem: 𝑦 1 =0, 𝑦 2 =3, de unde, prin înlocuire în prima relaţie, rezultă 𝑥 1 =0, 𝑥 2 = 9 2 , soluţiile sistemului sunt: Am obţinut punctele staţionare: 𝑃 1 0,0 , 𝑃 ,3 . Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local. - Scriem matricea hessiană: 𝐻 𝑥,𝑦 = 𝑓′′ 𝑥 2 (𝑥,𝑦) 𝑓′′ 𝑥𝑦 (𝑥,𝑦) 𝑓′′ 𝑦𝑥 (𝑥,𝑦) 𝑓′′ 𝑦 2 (𝑥,𝑦)

18 Avem: 𝑓 𝑥 2 ′′ 𝑥,𝑦 = 𝑓 𝑥 ′ 𝑥,𝑦 𝑥 ′ = 4𝑥−6𝑦 𝑥 ′ =4;
𝑓 𝑥𝑦 ′′ 𝑥,𝑦 = 𝑓 𝑥 ′ 𝑥,𝑦 𝑦 ′ = 4𝑥−6𝑦 𝑦 ′ =−6= 𝑓 ′′ 𝑦𝑥 (𝑥,𝑦); 𝑓 𝑦 2 ′′ 𝑥,𝑦 = 𝑓 𝑦 ′ 𝑥,𝑦 𝑦 ′ = 3 𝑦 2 −6𝑥 𝑦 ′ =6𝑦, deci 𝐻 𝑥,𝑦 = 4 −6 −6 6𝑦 .

19 - Calculam minorii acesteia ∆1, ∆2 unde ∆i este minorul format din primele i linii şi i coloane ale matricei H (a, b) si concluzionam. 𝐻(0,0)= 4 −6 −6 0 ⇒ 𝛥 1 =4>0, 𝛥 2 = 4 −6 −6 0 =−36<0, prin urmare 𝑃 1 0,0 este punct şa. 𝐻 9 2 ,3 = 4 −6 −6 18 ⇒ 𝛥 1 =4>0, 𝛥 2 = 4 −6 −6 18 =36>0, prin urmare 𝑃 ,3 este punct de minim local.

20 Exemple 2. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei: 𝑓: 𝑅 2 →𝑅,𝑓(𝑥,𝑦)= 𝑥 3 + 𝑦 3 −3𝑥𝑦+21. Rezolvare: Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului: & 𝑓 𝑥 ′ (𝑥,𝑦)=0 & 𝑓 𝑦 ′ (𝑥,𝑦)=0 . Avem că: 𝑓 𝑥 ′ (𝑥,𝑦)=3 𝑥 2 −3𝑦 𝑓 𝑦 ′ (𝑥,𝑦)=3 𝑦 2 −3𝑥, prin urmare rezultă sistemul: &3 𝑥 2 −3𝑦=0 &3 𝑦 2 −3𝑥=0 ⇔ & 𝑥 2 =𝑦 & 𝑦 2 =𝑥 .

21 Din prima ecuaţie obţinem: 𝑥 4 =𝑥 𝑥 1 =0, 𝑥 2 =1, de unde, prin înlocuire în prima relaţie, rezultă 𝑦 1 =0, 𝑦 2 =1 Am obţinut punctele staţionare: 𝑃 1 0,0 , 𝑃 2 1,1 . Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local. - Scriem matricea hessiană: 𝐻 𝑥,𝑦 = 𝑓′′ 𝑥 2 (𝑥,𝑦) 𝑓′′ 𝑥𝑦 (𝑥,𝑦) 𝑓′′ 𝑦𝑥 (𝑥,𝑦) 𝑓′′ 𝑦 2 (𝑥,𝑦)

22 Avem: 𝑓 𝑥 2 ′′ 𝑥,𝑦 = 𝑓 𝑥 ′ 𝑥,𝑦 𝑥 ′ = 3 𝑥 2 −3𝑦 𝑥 ′ =6𝑥;
𝑓 𝑥𝑦 ′′ 𝑥,𝑦 = 𝑓 𝑥 ′ 𝑥,𝑦 𝑦 ′ = 3 𝑥 2 −3𝑦 𝑦 ′ =−3= 𝑓 ′′ 𝑦𝑥 (𝑥,𝑦); 𝑓 𝑦 2 ′′ 𝑥,𝑦 = 𝑓 𝑦 ′ 𝑥,𝑦 𝑦 ′ = 3 𝑦 2 −3𝑥 𝑦 ′ =6𝑦, deci 𝐻 𝑥,𝑦 = 6𝑥 −3 −3 6𝑦 .

23 Calculam minorii acesteia ∆1, ∆2 unde ∆i este minorul format din
primele i linii şi i coloane ale matricei H (a, b) si concluzionam. 𝐻(0,0)= −3 − ⇒ 𝛥 2 = −3 − =−9<0, prin urmare 𝑃 1 0,0 este punct şa. 𝐻 1,1 = 6 −3 −3 6 ⇒ 𝛥 2 = 6 −3 −3 6 =36−9=27>0, 𝛥 1 =6>0, prin urmare 𝑃 2 1,1 este punct de minim local.