Prezentarea se รฎncฤƒrcฤƒ. Vฤƒ rugฤƒm sฤƒ aศ™teptaศ›i

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C 10.

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1 C 10

2 2.2. VARIABILE ALEATOARE BIDIMENSIONALE
Fie, ๐‘‹: & ๐‘ฅ ๐‘– & ๐‘ ๐‘– ๐‘–โˆˆ๐ผ ๐‘Œ: & ๐‘ฆ ๐‘— & ๐‘ž ๐‘— ๐‘—โˆˆ๐ฝ variabile aleatoare discrete. ๐‘ ๐‘–๐‘— =๐‘ƒ ๐‘‹= ๐‘ฅ ๐‘– ,๐‘Œ= ๐‘ฆ ๐‘— ,๐‘–= 1,๐‘š ,๐‘—= 1,๐‘› , ๐‘ ๐‘– = ๐‘—=1 ๐‘› ๐‘ ๐‘–๐‘— ,๐‘–= 1,๐‘š , ๐‘ž ๐‘— = ๐‘–=1 ๐‘š ๐‘ ๐‘–๐‘— ,๐‘—= 1,๐‘› ๐‘–=1 ๐‘š ๐‘—=1 ๐‘› ๐‘ ๐‘–๐‘— =1.

3 Definitia 1: -V.a X si Y se numesc repartitii marginale pentru vectorul ( X,Y ) - Z= ( X,Y ) se numeste repartitia comuna pentru vectorul ( X,Y ) Definiลฃia 2. Se numeลŸte covarianลฃa variabilelor aleatoare ๐‘‹ ลŸi ๐‘Œ numฤƒrul: ๐‘๐‘œ๐‘ฃ ( ๐‘‹,๐‘Œ)=๐‘€(๐‘‹๐‘Œ)โˆ’๐‘€(๐‘‹)โ‹…๐‘€(๐‘Œ). Proprietati : 1. Daca X si Y sunt independente, atunci ๐‘๐‘œ๐‘ฃ ( ๐‘‹,๐‘Œ)=0. 2. ๐‘๐‘œ๐‘ฃ ( ๐‘Žโ‹…๐‘‹,๐‘โ‹…๐‘Œ)=๐‘Žโ‹…๐‘โ‹… ๐‘๐‘œ๐‘ฃ ( ๐‘‹,๐‘Œ), ๐‘Ž,๐‘โˆˆ๐‘… Demonstratii Definiลฃia 3. Variabilele aleatoare ๐‘‹ ลŸi ๐‘Œse numesc necorelate dacฤƒ ๐‘๐‘œ๐‘ฃ ( ๐‘‹,๐‘Œ)=0.

4 Definiลฃia 4. Se numeลŸte coeficientul de corelaลฃie al variabilelor aleatoare ๐‘‹ ลŸi ๐‘Œ numฤƒrul:
๐œŒ(๐‘‹,๐‘Œ)= ๐‘๐‘œ๐‘ฃ ( ๐‘‹,๐‘Œ) ๐œŽ(๐‘‹)โ‹…๐œŽ(๐‘Œ) = ๐‘€(๐‘‹๐‘Œ)โˆ’๐‘€(๐‘‹)โ‹…๐‘€(๐‘Œ) ๐œŽ(๐‘‹)โ‹…๐œŽ(๐‘Œ) . Proprietati. Dacฤƒ ๐‘‹, ๐‘Œ sunt independente, atunci ๐œŒ(๐‘‹,๐‘Œ)=0. ๐œŒ(๐‘‹,๐‘Œ) โ‰ค1. Dacฤƒ ๐œŒ(๐‘‹,๐‘Œ) =1, atunci รฎntre ๐‘‹ ลŸi ๐‘Œ existฤƒ o dep. liniarฤƒ.

5 APLICAศšII

6 Fie (X,Y) o variabilฤƒ aleatoare bidimensionalฤƒ cu repartiศ›ia datฤƒ de a) Sฤƒ se completeze tabloul repartiศ›iei si sฤƒ se determine repartiลฃiile marginale. b) Calculati abaterea standard pentru v.a. Y si covarianลฃa v.a. X ศ™i Y . 0,2 0,1 0,4 0,5 1

7 Rezolvare: Rezultฤƒ repartiลฃiile variabilelor ๐‘‹, ๐‘Œ: ๐‘‹: & 0 &0,6 & 3 &0,4 ; ๐‘Œ: &โˆ’1 & 0,5 & 0 &0,5 ลŸi repartiลฃia comunฤƒ a variabilelor ๐‘‹, ๐‘Œdin tabelul de mai sus. 0,2 0,1 0,4 0,5 1

8 ๐‘) โˆ’ ๐‘€ ๐‘Œ = ๐‘—=1 2 ๐‘ฆ ๐‘— ๐‘ž ๐‘— = โˆ’1 โ‹…0,5+0 โ‹…0,5=โˆ’0,5;
โˆ’ ๐‘€ ๐‘Œ = ๐‘—=1 2 ๐‘ฆ ๐‘— ๐‘ž ๐‘— = โˆ’1 โ‹…0,5+0 โ‹…0,5=โˆ’0,5; - ๐‘€( ๐‘Œ 2 )= ๐‘—=1 2 ๐‘ฆ ๐‘— 2 ๐‘ž ๐‘— =(โˆ’1 ) 2 โ‹…0, โ‹…0,5=0,5; ๐ท ๐‘Œ =๐‘€ ๐‘Œ 2 โˆ’ ๐‘€ 2 ๐‘Œ =0,5โˆ’ (โˆ’0,5) 2 =0,5โˆ’0,25=0,25โ‡’๐œŽ ๐‘Œ = ๐ท ๐‘Œ =0,5 โˆ’ ๐‘€(๐‘‹)= ๐‘–=1 2 ๐‘ฅ ๐‘– ๐‘ ๐‘– = โˆ’1 โ‹…0,6+3 โ‹…0,4=1,2; โˆ’ ๐‘€ ๐‘‹๐‘Œ = ๐‘–=1 2 ๐‘—=1 2 ๐‘ฅ ๐‘– ๐‘ฆ ๐‘— ๐‘ ๐‘–๐‘— =0โ‹… โˆ’1 โ‹…0,4+0โ‹…0โ‹…0,2+3โ‹… โˆ’1 โ‹…0,1+3โ‹…0โ‹…0,3=โˆ’0,3. Cov(X,Y)= ๐‘€(๐‘‹๐‘Œ)โˆ’๐‘€(๐‘‹)โ‹…๐‘€(๐‘Œ)= โˆ’ 0,3 โˆ’ 1,2 โ‹…(โˆ’ 0,5) = 0,3


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